Al-Khwārizmī autorom knihy Al-Jabr, teda algebry

BAGDAD – Al-Jabr (arabsky: الجبر), tiež známy ako Súhrnná kniha o výpočte dokončením a vyvážením (arabsky:  الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah; alebo latinsky: Liber Algebræ et Almucabola) je arabské matematické pojednanie o algebre, ktoré napísal v Bagdade okolo roku 820 perzský polyhistor Al-Khwarizmi.

Nie je isté, čo znamenajú pojmy al-džábr a mukabala, ale obvyklý výklad je podobný tomu, ktorý je naznačený vo vyššie uvedenom preklade. Slovo al-jabr pravdepodobne znamenalo niečo ako “obnova” alebo “dokončenie” a zdá sa, že odkazuje na transpozíciu odčítaných výrazov na druhú stranu rovnice, čo je zrejmé z pojednania; Hovorí sa, že slovo mukabala odkazuje na “zníženie” alebo “vyváženie” – to znamená zrušenie podobných výrazov na opačných stranách rovnice.

Bola to medzníková práca v dejinách matematiky, ktorej názov bol konečnou etymológiou samotného slova “algebra”, neskôr požičaného do stredovekej latinčiny ako algebrāica.

Al-Jabr poskytol vyčerpávajúci popis riešenia pozitívnych koreňov polynomiálnych rovníc až po druhý stupeň. Bol to prvý text, ktorý učil elementárnu algebru a prvý, ktorý vyučoval algebru pre seba samého. Zaviedol tiež základný pojem “redukcia” a “vyváženie” (na ktorý pôvodne odkazoval termín al-džábr), transpozíciu odčítaných výrazov na druhú stranu rovnice, t. j. zrušenie podobných výrazov na opačných stranách rovnice. Historik matematiky Victor J. Katz považuje Al-Jabr za prvý skutočný algebraický text, ktorý stále existuje. Do latinčiny ju preložil Robert z Chesteru v roku 1145 a používala sa až do šestnásteho storočia ako hlavná učebnica matematiky európskych univerzít. 

Pod týmto menom publikovalo texty aj niekoľko autorov, vrátane Abu Hanifa Dinawari, Abu Kamil, Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, ‘Abd al-Hamīd ibn Turk, Sind ibn ʿAlī, Sahl ibn Bišr a Šarafaddīn al-Ṭūsī.

R. Rashed a Angela Armstrong píšu:

Al-Khwarizmiho text možno považovať za odlišný nielen od babylonských tabuliek, ale aj od Diofantovej aritmetiky. Už sa netýka série problémov, ktoré treba vyriešiť, ale výkladu, ktorý začína primitívnymi pojmami, v ktorých kombinácie musia poskytnúť všetky možné prototypy rovníc, ktoré odteraz explicitne predstavujú skutočný predmet štúdia. Na druhej strane myšlienka rovnice sama osebe sa objavuje od začiatku a, dalo by sa povedať, všeobecne, pokiaľ sa jednoducho neobjavuje v priebehu riešenia problému, ale je špecificky vyzvaná, aby definovala nekonečnú triedu problémov. 

J. J. O’Connor a E. F. Robertson napísali v archíve MacTutor History of Mathematics:

Možno jeden z najvýznamnejších pokrokov arabskej matematiky začal v tomto čase prácou al-Khwarizmiho, konkrétne začiatkami algebry. Je dôležité pochopiť, aká významná bola táto nová myšlienka. Bol to revolučný odklon od gréckeho konceptu matematiky, ktorý bol v podstate geometriou. Algebra bola zjednocujúca teória, ktorá umožňovala, aby sa racionálne čísla, iracionálne čísla, geometrické veličiny atď. považovali za “algebraické objekty”. Dala matematike úplne novú cestu vývoja, ktorá bola koncepčne oveľa širšia ako tá, ktorá existovala predtým, a poskytla prostriedok pre budúci rozvoj predmetu. Ďalším dôležitým aspektom zavedenia algebraických myšlienok bolo, že umožnil aplikovať matematiku na seba spôsobom, ktorý sa predtým nestal.

Kniha bola kompiláciou a rozšírením známych pravidiel riešenia kvadratických rovníc a niektorých ďalších problémov a považovala sa za základ algebry a ustanovila ju ako samostatnú disciplínu. Slovo algebra je odvodené od názvu jednej zo základných operácií s rovnicami opísanými v tejto knihe, po jej latinskom preklade Robertom z Chesteru.

Kvadratické rovnice

Kniha klasifikuje kvadratické rovnice do jedného zo šiestich základných typov a poskytuje algebraické a geometrické metódy na riešenie základných. Historik Carl Boyer poznamenáva v súvislosti s nedostatkom moderných abstraktných zápisov v knihe nasledovné:

… algebra al-Khwarizmi je dôkladne rétorická, bez synkopácie, ktorá sa nachádza v gréckej aritmetike alebo v Brahmaguptovej práci. Dokonca aj čísla boli napísané slovami a nie symbolmi! — Carl B. Boyer, Dejiny matematiky

Rovnice sú teda slovne opísané ako “štvorce” (čo by dnes bolo “x²“), “korene” (čo by dnes bolo “x“) a “čísla” (“konštanty”: obyčajné hláskované čísla, ako “štyridsaťdva”). Šesť typov s modernými zápismi je:

1. štvorce rovnaké korene (ax² = bx)
2. štvorce rovnaké číslo (ax² = c)
3. korene rovnaké číslo (bx = c)
4. Štvorce a korene rovnaký počet (AX² + BX = C)
5. Štvorce a číslo rovnaké korene (AX² + C = BX)
6. Korene a číslo rovnaké štvorce (bx + c = ax²)

Islamskí matematici, na rozdiel od hinduistov, sa vôbec nezaoberali zápornými číslami; Preto sa rovnica ako bx + c = 0 neobjaví v klasifikácii, pretože nemá žiadne pozitívne riešenia, ak sú všetky koeficienty kladné. Podobne sa rozlišovali typy rovníc 4, 5 a 6, ktoré vyzerajú ekvivalentne modernému oku, pretože všetky koeficienty musia byť kladné. –Operácia Al-Jabr (“nútenie”, “obnovenie”) je presun nedostatočného množstva z jednej strany rovnice na druhú stranu. V príklade al-Khwarizmiho (v modernej notácii) “x² = 40x − 4x²” transformuje al-Jabr na “5x² = 40x“. Opakované uplatňovanie tohto pravidla eliminuje záporné množstvá z výpočtov.

Al-Muqābala (المقابله, “vyvažovanie” alebo “korešpondovanie”) znamená odčítanie rovnakej kladnej veličiny z oboch strán: “x² + 5 = 40x + 4x²” sa zmení na “5 = 40x + 3x²“. Opakovaná aplikácia tohto pravidla spôsobuje, že veličiny každého typu (“štvorec”/”koreň”/”číslo”) sa objavia v rovnici najviac naraz, čo pomáha vidieť, že existuje iba 6 základných riešiteľných typov problému, ak sú obmedzené na kladné koeficienty a riešenia.

Nasledujúce časti knihy sa nespoliehajú na riešenie kvadratických rovníc.

Plocha a objem

Druhá kapitola knihy katalogizuje metódy hľadania plochy a objemu. Tieto zahŕňajú aproximácie pí (π), dané tromi spôsobmi, ako 3 1/7, √10 a 62832/20000. Táto posledná aproximácia, rovnajúca sa 3,1416, sa predtým objavila v indickej Āryabhaṭīya (499 n. l.). 

Ďalšie témy

Al-Khwārizmī vysvetľuje židovský kalendár a 19-ročný cyklus opísaný konvergenciou lunárnych mesiacov a slnečných rokov. 

Asi polovica knihy sa zaoberá islamskými pravidlami dedičstva, ktoré sú zložité a vyžadujú zručnosť v algebraických rovniciach prvého rádu.

Stránky z arabskej kópie knihy zo 14. storočia, ukazujúce geometrické riešenia dvoch kvadratických rovníc.