Antagonistická hra, či hra s nulovým súčtom

15. apríla 202515. apríla 2025 Finančné Noviny

Antagonistická hra alebo hra s nulovým súčtom je termín v teórii hier. Hra s nulovým súčtom je nekooperatívna hra, v ktorej je súčet ziskov a strát všetkých hráčov 0. To znamená, že zisk jedného hráča je nevyhnutne stratou iného hráča.

Formálne môže byť antagonistická hra reprezentovaná trojicou <X, Y, F>, kde X a Y sú množiny stratégií prvého a druhého hráča; F je výplatná funkcia prvého hráča, ktorá priraďuje každej dvojici stratégií (situácií) (x,y) $x\in X,y\in Y$ reálne číslo zodpovedajúce užitočnosti prvého hráča pri realizácii danej situácie. Keďže záujmy hráčov sú opačné, funkcia F zároveň predstavuje stratu druhého hráča.

Historicky sú hry s nulovým súčtom prvou triedou matematických modelov v teórii hier používaných na opis hazardných hier. Verí sa, že práve kvôli tomuto predmetu štúdia dostala teória hier svoje meno. V súčasnosti sú antagonistické hry považované za súčasť širšej triedy nekooperatívnych hier.

Najjednoduchším príkladom antagonistickej hry je hra „Heads and Tails“. Prvý hráč skryje mincu hlavami alebo chvostmi nahor a druhý hráč sa snaží uhádnuť, ako je ukrytá. Ak neuhádne, zaplatí prvému jednu peňažnú jednotku; ak uhádne, prvý mu zaplatí jednu peňažnú jednotku.

V tejto hre má každý účastník dve stratégie: „hlavy“ a „chvosty“. Mnoho situácií v hre pozostáva zo štyroch prvkov. V riadkoch tabuľky sú uvedené stratégie prvého hráča x a v stĺpcoch sú uvedené stratégie druhého hráča y. Pre každú situáciu sú uvedené výhry prvého a druhého hráča.

V analytickej forme má výplatná funkcia prvého hráča nasledujúcu formu:

$F_{1}(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\not =y\\-1,&x=y\end{matrix}}\right.,$

Keďže zisk prvého hráča sa rovná strate druhého hráča:

$F_{2}(x,y)=-F_{1}(x,y)$

Ak je výsledok úplne určený hráčom, ktorý urobil posledný ťah (ak sú pravidlá ťahu pre hráčov identické), stratégiu možno nájsť pomocou funkcie Grandi.

Grandiho funkcia je funkcia v teórii grafov.