Matematik odpovedá na otázky zo sociálnych sietí, najviac geometrii pomáha počítačová hra Tetris
Geometriu možno pochopiť tak, že sa obrátime k najjednoduchším a najvšednejším veciam, je presvedčený matematik Jordan Ellenberg.
Vo videu na kanáli Wired YouTube vysvetľuje, ako porozumieť tejto fascinujúcej vede na príklade Tetrisu a vesmírnych satelitov.
Volám sa Jordan Ellenberg a som matematik. Dnes odpoviem na otázky používateľov internetu o geometrii a všetkom, čo s ňou súvisí.
Kto vynašiel geometriu?
Nikto ju nevymyslel. Vždy existovala. Toto je len spôsob, akým interagujeme so svetom okolo nás. Muž, ktorý to prvýkrát systematizoval a sformuloval ako vedu, sa volal Euklid a žil v severnej Afrike asi pred dvetisíc rokmi. Vieme tiež, že veľa z toho, čo napísal, bola len kópia práce iných ľudí. Zhromažďoval informácie a uchovával ich v písomnej forme. Z intuitívnej kategórie sa posunul do knižnej kategórie ako súbor formálnych pravidiel, ktoré používame na opis a prácu s uhlami, trojuholníkmi, kruhmi a inými vecami.
Sú nové formy jednoducho prijaté a objavené?
Samozrejme! A stále dookola. Jednou z hlavných mylných predstáv ľudí o matematike je, že sa ako veda vyčerpala. Tí, ktorí študujú geometriu, si vždy predstavujú najrôznejšie veľkorozmerné šialenosti a bláznivé skrútenia, ale v skutočnosti sú štvorrozmerné tvary istým spôsobom rovnako skutočné ako trojrozmerné tvary. Človek len potrebuje trénovať svoju myseľ, aby dokázal vnímať formy v dimenziách ako hyperkocka, známa aj ako tesseract.
Je tesseract naozaj niečo skutočné?
Určite áno. Toto je názov toho, čo sa v matematike označuje ako hyperkocka. Nápad nepatrí do sci-fi kinematografického univerza “Marvel”, ale spisovateľky Madeleine L’Engle, autorky knihy “A Crack in Time”. Tu máme štvorec, dvojrozmerný obrazec. Ale jeho trojrozmerný analóg, kocka. Ten si možno predstaviť ako dva spolu spojené štvorce – jeden navrchu, druhý dole. Ak je kocka trojrozmerná a štvorec dvojrozmerný, ako vyzerá štvorrozmerný obrazec?
Myslím, že hyperkocka by mala vyzerať ako dve kocky spojené dohromady s dvojnásobným počtom vrcholov, teda šestnásť. Teraz spojíme každý roh malej kocky so zodpovedajúcim rohom veľkej – tu máme hyperkocku. Pýtate sa: skutočne existujú štyri dimenzie alebo je to len fantázia? Viete, keď robíte obyčajnú geometriu, pracujete v dokonale rovnej rovine. Deje sa to v skutočnom svete? Ako fyzický objekt asi nie. Ale dvojrozmerná rovina aj trojrozmerný priestor sú rovnako abstraktné ako štvorrozmerný priestor.
Ak je algebra štúdiom štruktúry, potom o čom je geometria?
Algebra je o logike a symboloch, však? Toto je jedna polovica mozgu. Geometria je úplne iná: materiálová, primárna. A matematika vo všeobecnosti ťaží z napätia medzi algebraickou a geometrickou stránkou nášho mozgu.
Veríte, že ak vydelíte dĺžku ľubovoľného kruhu jeho priemerom, vždy dostanete presne číslo Pi?
Áno, určite tomu verím. Navyše tento moment obdivujem, pretože vďaka nemu sa kruhy otáčajú dookola. Kruhy sú len jedného typu. Môžu byť veľké alebo malé, ale prvé sú len väčšou verziou tých druhých. Bez ohľadu na priemer malého kruhu bude jeho obvod toľkokrát menší ako obvod veľkého kruhu, o koľko bude menší jeho priemer. To znamená, že pomer medzi obvodom a priemerom je v oboch prípadoch rovnaký a tento konštantný pomer – číslo Pi – je 3,1415. Nezáleží na tom, koľko má desatinných miest, desať alebo dvadsať. Z matematického hľadiska je dôležitá len samotná existencia tohto Pi, konštanty, ktorá platí pre všetky kruhy bez ohľadu na veľkosť.
Je pravda, že pôvodná hra Tetris je najlepší spôsob, ako pochopiť transformačnú geometriu?
Strávil som veľa času hraním tejto hry ako študent a veľa som o nej premýšľal, snažiac sa nejako ospravedlniť túto aktivitu z hľadiska produktivity. Po absolvovaní lekcie modernej geometrie pochopíte, že táto veda nie je len o uhloch, kruhoch a tvaroch, ale aj o transformáciách. Okrem iného sa v nich diskutuje o tom, čo sa stane, ak nejakú formu zrkadlíte alebo otočíte. Tu prichádza na rad Tetris. Predstavte si, že sa tento malý blok pohybuje nadol po obrazovke a musíte si veľmi rýchlo premyslieť, ako bude vyzerať hore nohami a ktorá možnosť by bola najlepšia pre vašu konkrétnu situáciu na ihrisku. Tetris teda možno považovať za efektívny, aj keď stresujúci spôsob, ako trénovať práve túto zručnosť mentálnej rotácie, ktorú sa snažíme naučiť moderných školákov.
Prečo je geometria gule dôležitá v kontexte fungovania systémov GPS?
Princíp fungovania GPS spočíva v tom, že na určitých pozíciách je umiestnená skupina satelitov, ktoré nám môžu povedať, v akej vzdialenosti od každého z nich sa nachádzate kdekoľvek na svete. A poznať tieto čísla v skutočnosti stačí na určenie vašej presnej polohy. Povedzme, že viem, že stojím vo vzdialenosti presne 5342 km od konkrétneho satelitu. Množina všetkých bodov umiestnených v presne rovnakej vzdialenosti od nej predstavuje guľu, ktorej stredom je tento satelit. Tu je definícia gule tak, ako je: množina všetkých bodov v pevnej vzdialenosti od nejakého daného stredu. Ak sú nado mnou dva satelity, potom som v bode kontaktu dvoch sfér. V prípade, že sú štyri alebo viac posledných, nikdy nebudú mať viac ako jeden spoločný bod. Toto je geometria, ktorá je základom GPS.
Čo nám môže povedať geometria neurónových sietí hlbokého učenia (DLNN) o ich vnútorných mechanizmoch?
Dovoľte mi vysvetliť vám stratégiu, ktorá sa tam používa. V podstate ide o mimoriadne intenzívnu formu pokusov a omylov. Urobíme niekoľko malých zmien vo svojom vlastnom správaní a uvidíme, či dôjde k pozitívnemu výsledku. Ak áno, cyklus sa opakuje.
Pozerám sa na to všetko ako na spôsob skúmania vesmíru. Vo všetkých chápaniach je geometria akýkoľvek kontext, v ktorom môžeme diskutovať o niečom blízkom a vzdialenom. Vieme, aké to je byť s niekým v geografickej blízkosti. Všetky stratégie rozpoznávania tváre sú štruktúrované podobným spôsobom. Sú stratégie, ktoré sú si blízke a sú aj vzdialené. Dá sa to prispôsobiť akémukoľvek kontextu, blízkemu alebo vzdialenému, či už je to povrch Zeme, sociálna sieť alebo vaša rodina, kde sú blízki aj vzdialení príbuzní. Viem, znie to tak, že si myslím, že geometria je všetko. Budem úprimný: je!
(Jordan Stuart Ellenberg (narodený 30. októbra 1971) je americký matematik, ktorý je profesorom matematiky na University of Wisconsin-Madison . Jeho výskum zahŕňa aritmetickú geometriu . Je tiež autorom beletrie a literatúry faktu.)
Tetris je počítačová hra, ktorú vyvinul vedec Alexej Pažitnov, keď pracoval vo Výpočtovom stredisku Akadémie vied Sovietskeho zväzu, inšpirovaný stolnou hrou pentomino. Verejnosti bola hra predstavená 6. júna 1984. Slovo Tetris pochádza z gréckeho slova tetra, teda štyri.
